Каноническое уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой как найти


Как найти каноническое уравнение прямой

Прямая является одним из основных и исходных понятий в геометрии. Прямую можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Каноническое уравнение прямой в пространстве возможно записать двумя способами.

Инструкция

  • Если вам необходимо составить каноническое уравнение прямой, проходящей через некоторую точку M с координатами (Xm, Ym, Zm) и направляющим вектором a с координатами (r, s, t), то вам необходимо выполнить следующие действия.
  • Составьте систему параметрических уравнений прямой:X = Xm + r * pY = Ym + s * pZ = Zm + t * p,где p – некоторый произвольный параметр.Из этой системы выразите параметр p и получите требуемое каноническое уравнение прямой:p = (X - Xm)/r = (Y-Ym)/s = (Z - Zm)/t.
  • Пример. Пусть дана прямая, проходящая через точку M (2, 5, 0) и заданная направляющим вектором a = (4, 4, 1). Параметрическое уравнение для данной прямой будет следующим:(X – 2)/4 = (Y - 5)/4 = Z/1.
  • Если вам необходимо найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки A (Ax, Ay, Az) и B (Bx, By, Bz), то запишите ту же систему параметрических уравнений, только для обеих точек A и B. X = Ax + r * p , Y = Ay + s * p, Z = Az + t * p X = Bx + r * p , Y = By + s * p, Z = Bz + t * p Выразите из первого уравнения первой системы параметр p: p = (X – Ax)/r. Из первого уравнения второй системы выразите коэффициент r: r = (X - Bx)/p. Далее подставьте значение для r в выражение для p: p = (X – Ax) * p/(X - Bx). Проделайте подобную операцию для всех уравнений системы. Сократив параметр p в числителе всех дробей, вы получите каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:(X – Ax) /(X - Bx) = (Y – Ay) /(Y - By) = (Z – Az) /(Z - Bz).
  • Пусть прямая проходит через точки A(1, 2, 3) и B(4, 5, 6). Тогда параметрическое уравнение будет иметь следующий вид:(X – 1) /(X – 4) = (Y – 2) /(Y - 5) = (Z – 3) /(Z - 6).

completerepair.ru

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида

.   (1)

Направляющий вектор - это вектор, параллельный искомой прямой. При этом координаты направляющего вектора связаны отношением с общим уравнением как искомой прямой, так и любой другой прямой, параллельной направляющему вектору.

Элементарными преобразованиями (в основном приведением к общему знаменателю и затем умножением всех членов уравнения на общий знаменатель) каноническое уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой в общем виде.

Пример 1. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.

Решение. Поскольку одна из координат направляющего вектора равна нулю, то по формуле (2) получаем:

.

Приводим уравнение к общему виду:

.

Пример 2. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.

Решение. По формуле (2) получаем каноническое уравнение:

.

Приводим уравнение к общему виду:

.

Как видим, координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением отношением . Значит, задача решена корректно.

Пример 3. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой . Затем привести уравнение к общему виду.

Решение. Из общего уравнения заданной прямой получаем координаты направляющего вектора:

.

Тогда каноническое уравнение искомой прямой запишется в виде:

.

Приводим это уравнение к общему виду:

Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .

Пример 4. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и равноудалённой от точек и . Затем привести уравнение к общему виду.

Решение. Искомая прямая равноудалена от точек P и Q, следовательно, параллельна прямой, проходящей через эти точки. Поэтому сначала составим общее уравнение этой прямой, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:

Таким образом, направляющий вектор запишется так:

.

Каноническое уравнение искомой прямой:

.

Приводим это уравнение к общему виду:

Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .

Пример 5. Даны вершины треугольника , и . Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC. Затем привести уравнение к общему виду.

Решение. Cначала составим общее уравнение стороны BC, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:

Таким образом, направляющий вектор запишется так:

.

Составляем каноническое уравнение искомой прямой:

.

Приводим это уравнение к общему виду:

Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .

Всё по теме "Прямая на плоскости

function-x.ru

Каноническое уравнение прямой

Определение. Любой вектор, отличный от нулевого, параллельный заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть на прямой задана точка, а вектор– направляющий вектор прямой. Точкапринадлежит прямой, если векторпараллелен вектору:

. (12)

Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:

.

Условием параллельности прямых будет условие коллинеарности их направляющих векторов:

||.

Условие перпендикулярности прямых равносильно условию равенства нулю скалярного произведения их направляющих векторов:

.

Параметрические уравнения прямой

Пусть .

Если величины х и у рассматривать как координаты точки М при каждом значении t, то такие уравнения называются параметрическими уравнениями траектории точки М. Аргумент t – переменный параметр.

В каноническом уравнении прямой (12) примем одну из величин (правую или левую часть равенства) за параметр t. Получим два уравнения

или . (13)

Уравнения (13) – это параметрические уравнения прямой на плоскости. Если принять, что параметр t – время, то параметрические уравнения приобретают физический смысл. Они определяют закон движения точки по прямой L.

Нормальное (нормированное) уравнение прямой

Пусть существует прямаяL. Проведем вектор , перпендикулярный, через начало координат.Р – точка пересечения прямой и нормали.

На нормали введем положительное направление от О к Р.

Пусть - полярный угол нормали,

–полярный угол вектора . Обозначим |ОР| = р. Выберем на прямой точкуМ(х,у). Проекция вектора на нормаль определяется как

npn= p (14)

Найдем выражение npn через координаты точки М. Пусть – полярные координаты точки М.

npn=

.

npn=(15)

Из (1) и (2) => или

(16)

Уравнение (16) – это нормальное уравнение прямой.

Расстояние от точки до прямой

Пусть М* – любая точка плоскости, d – её расстояние от данной прямой.

Определение. Отклонением точки М* от данной прямой называется число (+d), если М* лежит по ту сторону от прямой, куда указывает положительное направление нормали, и (–d) – в обратном случае.

= ±d

Теорема. Пусть точка М* (х*, у*)произвольная точка плоскости, L – прямая, заданная уравнением xcosα + ysinα – р = 0. Отклонение точки М* от этой прямой задается формулой

. (17)

Доказательство. Проекция точки М* на нормаль – точка . Отклонение точкиМ* от прямой

δ= PQ = OQ – OP.

Но OQ = npn, а ОР = р δ =npn* - р

npn= .

Таким образом, отклонение точки М* от прямой легко вычисляется, если прямая задана нормальным уравнением. Достаточно лишь подставить в нормальное уравнение прямой координаты точки.

Пусть прямая задана общим уравнением: Ах + Ву + С = 0, а

x cosα + y sinα – р = 0 – её нормальное уравнение .

Поскольку два уравнения определяют одну прямую, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Уравнение

(18)

совпадает с нормальным уравнением. Тогда

;

.

Отсюда можно найти :

–нормирующий множитель уравнения прямой.

Определим знак нормирующего множителя:

µС = - р < 0.

Следовательно, знак µ противоположен знаку С в уравнении. (Если С = 0 – знак µ произвольный).

studfiles.net

Каноническое уравнение прямой.

(Термин «каноническое» - от греч. – правило, предписание, образец. Понимается как «типовой», «традиционный»).

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Найдем уравнение прямой L, проходящей через заданную точку плоскости М0(х0;у0) параллельно заданному вектору q={l,m}.

Рассмотрим произвольную точку М(х,у).

Точка М(х;у)L , когда векторы ММ0=(х-х0)i+(y-y0)j и вектор q=li+mj коллинеарны, т.е.  когда координаты векторов пропорциональны, т.е.

(5) – каноническое уравнение прямой.

Замечание. В уравнении (5) одно из чисел l или m может оказаться равным нулю (оба числа l и m равняться нулю не могут, т.к. вектор q={l,m} ненулевой). Всякую пропорцию понимаем как равенствоad=cb. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей в (5) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Так, например, если l=0, то m0 и из равенства l(y-y0)=m(x-x0) х-х0=0, т.е. х=х1 – уравнение прямой, параллельной оси Ох.)

Параметрическое уравнение прямой.

В каноническом уравнении (5) обозначим равные, но переменные для различных положений точки М, отношения через параметр t. Т.к. один из знаменателей (7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать любые значения, то областью изменения параметра t является вся вещественная ось, т.е. tR:

tR (6) – параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.

Т.к. точка М1L, то каноническое уравнение этой прямой имеет вид: ,

Где параметры l и m являются координатами направляющего вектора q, в качестве которого можно выбрать вектор М1М2. Тогда

q=li+mj=М1М2=(х2-х1)i+(y2-y1)j. В итоге получаем:

(7) – уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки.

Пример. Уравнение прямой, проходящей через точки А(3;-5), В(-2;1):

Замечание. Если в (7) один из знаменателей равен нулю, считают, что соответствующий числитель так же равен нулю.

Возможны случаи:

  1. х2-х1=0, тогда х1=х2=const=a, x-x1=0 x=a – уравнение вертикальной прямой.

  2. y2-y1=0, тогда y1=y2=const=b, y-y1=0 y=b – уравнение горизонтальной прямой.

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая L проходит через точки А(а;0) и В(0;b) (т.е. отсекает от осей координат отрезки длиной а и b). Уравнение этой прямой имеет вид:

или, после преобразования,

(8) – уравнение прямой в отрезках.

Это уравнение можно получить и из полного уравнения Ах+Ву+С=0, переписав его в виде (т.к. в полном уравнении коэффициенты А,В и С не равны нулю):

=1 и положить а=-,b=-.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим произвольную прямую L, не параллельную оси Ох. Определим угол наклона прямой L к оси Ох. Допустим прямая L пересекает ось Ох в точке С. Возьмем на оси Ох произвольную точку А, лежащую по ту сторону от точки С, куда направлена ось Ох, а на прямой L произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки С, куда направлена ось Оу. Угол =МСА- угол наклона прямой L к оси Ох.

Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси Ох считается равным нулю.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой k=tg α. Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то k=0. а для прямой, перпендикулярной оси Ох угловой коэффициент не существует.

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0;у0) и имеющую данный угловой коэффициент k.

Теорема. Если прямая не перпендикулярна оси Ох и имеет направляющий вектор q={l,m}, то угловой коэффициент этой прямой k=.

Доказательство. Пусть  - угол наклона прямой к оси Ох, а  - угол наклона вектора q={l,m} к оси Ох. Возможны 4 случая.

В случаях 1) и 3) = и для проекций вектора q на оси Ох и Оу справедливы формулы:

l=qcos , m=qcos=qsin .

В случаях 2) и 4) =- и для проекций вектора q на оси Ох и Оу справедливы формулы:

l=qcos , m=-qsin .

Т.о. в случаях 1) и 3) tg=tg и =tg, а в случаях 2) и 4) tg=-tg и =-tg,

Следовательно, во всех 4-х случаях tg= tg. Ч.т.д.

Рассмотрим каноническое уравнение . Умножим обе части уравнения на m, учитывая, что k=, получим:

у-у0=k(х-х0) (9)

Обозначим через b постоянную b=у0-kх0 и уравнение (9) примет вид:

y=kx+b (10) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Здесь b – величина отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат (т.е. координата точки пересечения прямой с осью Оу.)

k=.

Если известны координаты 2-х точек, лежащих на прямой, то ее угловой коэффициент равен: k=.

Уравнение (10) не является общим, т.е. не описывает всевозможные случаи расположения прямой на плоскости. Так, например, если α=, то k=tgα не существует. (Переход от уравнения (2) к (3): Ах+Ву+С=0)

Пример. Найти угол наклона прямой 5х-3у+2=0 к оси Ох.

у=, k=tgα=5/3, α=arctg 5/3.

Рассмотрим частные случаи:

1. При b=0 получаем y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат. При k=1(1= tg Π/4) получаем уравнение у=х биссектрисы I и III координатных углов, при k=-1 (-1=tg 3Π/4) – уравнение – у=-х – биссектрисы II и IV координатных углов.

2. k=tgα=0, т.е. α=0. Получаем у=b – уравнение прямой, параллельной оси Ох. При b=0 – уравнение самой оси Ох: у=0.

3. При α= прямая перпендикулярная оси Ох и k=tgне существует. Т.о. у вертикальной прямой нет углового коэффициента. Пусть эта прямая отсекает оси Ох отрезок, равный а. Тогда уравнение вертикальной прямой - х=а, а уравнение оси Оу: х=0.

studfiles.net

Уравнения прямой в пространстве

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

.

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m, n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m, n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

,

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz, т. е. плоскости yOz.

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

.

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

или

.

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy.

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz.

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0. Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0, получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2, z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0, получим систему

Её решение x = -2, z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz.

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0):

,

или после деления знаменателей на -2:

,

где .

Если даны некоторая точка и направляющий вектор, то можно составить не только канонические, но и параметрические уравнения прямой в пространстве. Пусть даны и направляющий вектор .

Тогда

где t - параметр .

Пример 4. Даны точка и направляющий вектор . Составить параметрические уравнения прямой.

Решение:

Всё по теме "Прямая и плоскость"

  • Плоскость
  • Прямая в пространстве
  • Задачи на плоскость и прямую в пространстве
  • Прямая на плоскости

function-x.ru

43 Каноническое уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

Векторы иколлинеарны.

- каноническое уравнение прямой в пространстве.

44 Параметрические уравнения прямой

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

45 Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.

Аналитическая геометрия

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и М2(х2у2). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2

тройка.

- это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)

Перейдем теперь к уравнениям прямой и плоскости в пространстве.

Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве

Аналогично двумерному случаю любое уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве Оxyz.. Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – что представляет собой это уравнение?

Значения х –х0, у-у0 и z –z0 — это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х 0, у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N — вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.

Тогда их скалярное произведение должно равняться нулю.

В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:

А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая .

46 Угол между прямыми в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Примеры:

Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:

Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.

studfiles.net

Уравнение прямой, формулы и примеры

Прямая является одним из фундаментальных понятий геометрии.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

1) через любую точку можно провести бесконечно много прямых;

2) через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую;

3) две несовпадающие прямые на плоскости либо пересекаются в единственной точке, либо являются параллельными;

4) в трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются.

Общее уравнение прямой

    \[ Ax+By+C=0 \ (1) \]

Здесь A,\; B и C — произвольные постоянные, причём коэффициенты A и B не равны нулю одновременно.

Например. 3x-y+6=0.

Частные случаи расположения прямой
  1. Если коэффициент A=0, то прямая параллельна оси абсцисс.

    Например. 2y+1=0.

  2. В случае, когда постоянная B=0, то прямая параллельна оси ординат.

    Например. x+3=0.

  3. Если C=0, то прямая проходит через начало координат O\left(0;\; 0\right).

    Например. x+y=0.

Для прямой (1), заданной общим уравнением, нормальный вектор имеет координаты

    \[ \bar{n}=\left(A;\; B\right) \ (2) \]

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Если известно, что прямая проходит через точку M\left(x_{0} ;\; y_{0} \right) и имеет нормальный вектор (2), то ее уравнение имеет вид:

    \[A\left(x-x_{0} \right)+B\left(y-y_{0} \right)=0\]

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если известно, что прямая проходит через точку M\left(x_{0} ;\; y_{0} \right) и ее угловой коэффициент равен k, то ее уравнение имеет вид:

    \[y-y_{0} =k\left(x-x_{0} \right)\]

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает ось Ox в точке \left(a;\; 0\right), а ось ординат — в точке \left(0;\; b\right), то ее уравнение

    \[\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1\]

Нормальное уравнение прямой

    \[x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0,\]

где p — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, \alpha — угол между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра.

Если p=0, то прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если прямая проходит через две точки \left(x_{1} ;\; y_{1} \right) и \left(x_{2} ;\; y_{2} \right), то она задается уравнением

    \[ \frac{x-x_{1} }{x_{2} -x_{1} } =\frac{y-y_{1} }{y_{2} -y_{1} } \ (4) \]

или

    \[\left|\begin{array}{ccc} {x} & {y} & {1} \\ {x_{1} } & {y_{1} } & {1} \\ {x_{2} } & {y_{2} } & {1} \end{array}\right|=0\]

Уравнение (4) называется еще каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Вектор \bar{l}, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Если прямая проходит через точку M\left(x_{0} ;\; y_{0} \right) в направлении вектора \bar{l}=\left(m;\; n\right), то ее уравнение

    \[\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n}\]

Параметрические уравнения прямой

    \[\left\{\begin{array}{l} {x=mt+x_{0} ,} \\ {y=nt+y_{0} .} \end{array}\right \]

Здесь m,\; n — координаты направляющего вектора \bar{l}, x_{0} ,\; y_{0} — координаты точки (абсцисса и ордината соответственно), через которую проходит прямая, t — параметр.

Уравнение прямой в полярных координатах

    \[\rho \left(A\cos \varphi +B\sin \varphi \right)+C=0\]

здесь \rho — полярный радиус, \varphi — полярный угол.

ru.solverbook.com